貨幣的時間價值

一、 終值〈Future Value, FV〉：

假設利率為k，則C元的終值FV：

因為：

經過1期，C元的終值為

經過2期，C元的終值為

經過n期，C元的終值為

所以：

　　PV為現值

　

    為目前的貨幣價值〈現值〉，表示以k為複利利率，在n年(或n期)後的終值。

   〈例〉某銀行推出了兩種不同的存款商品，其中一種的利率為4%，每年計息一次；另一種的利率則為3.8%，但每半年計息一次。若有10萬元想存入銀行2年，應選擇哪一種存款商品？

      所以應選擇利率為4%，每年計息一次的存款商品。

　　老王在銀行存50,000元，利率為6%，每年複利1次，5年後變成多少錢？

Ans :　∵(1+0.06)⁵ = 1.338225578

　　　

　

EXCEL處理：

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【FV】→按確定。

2. 視窗上，Rate填利率0.06，Nper填期數5，PV填期初金額50000

　

　

二、 現值〈Present Value, PV〉：

假設每一段期間的利率固定為k，則C元的現值為PV。

因為：

經過1期，C元的現值為

經過2期，C元的現值為

經過n期，C元的現值為

所以：

　　　FV為終值

　

        老王正計劃幫他的小孫子存一筆教育基金，希望在15年後能夠累積到100 萬元；若目前銀行的定期存款利率為3%，請問他現在必須準備多少現金存入銀 行，15年後才能領取100萬元出來？

Ans :　老王現在要準備的現金額度可利用現值公式計算：

　

　　張小姐希望兩年後能有500,000元，在銀行年利率6.5%定存下，張小姐現在應該存入多少錢？

Ans :　∵　

  ∴ 張小姐現在要存440,829元在銀行

　

EXCEL處理：

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【PV】→按確定。

2. 視窗上，Rate填利率0.065，Nper填期數2，FV填期初金額50000

　

　

三、  年金終值：

　　年金依收付的時點不同，可分為普通年金〈Ordinary Annuity〉與期初年金〈Annuity Due〉。前者是指現金收付的時點為每期的期末；後者則指現金收付的時點為每期的期初。

3-1.  普通年金終值 (期末年金終值)

FVA表年金終值，PMT表年金每期的『支付額 (Payment)』，i表複利利率，n表年金期數。

　

　　王小姐為了能夠在5年後購置汽車，每年年底時會將10萬元轉為定存，以作為購車基金。假設定存利率為6%，請問5年後王小姐的購車基金有多少錢？

Ans： 公式解

查表解

　

EXCEL處理：

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【FV】→按確定。

2. 視窗上，Rate填利率0.06，Nper填期數5，FV填期初金額100000

　

　

〈例〉假設老王在5年內每年底均有1元的收入，折現率為10%。

　

　

　

〈例〉每年存入6萬元的現金。請問他這15年來所存入的現金，若以現在的時點來衡量，共值多少
　　  〈假設折現率同樣是3%〉？

 

3-2.  期初年金終值

　

　　小明5歲至15歲這10年的時間，小明每年年初的壓歲錢5,000都交由父母存入銀行的定存戶頭內，在銀行定存利息為7%之下，請問這10年後小明的戶頭內有多少錢？

Ans：

EXCEL處理：

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【FV】→按確定。

2. 視窗上，Rate填利率0.07，Nper填期數10，FV填期初金額5000

　

　

四、 年金現值

4-1.  普通年金現值

PVA_n 表普通年金現值，PMT表年金每期支付額，i 表複利利率，n 表年金的期數。

　

　　有一種證券從第1年年底開始，每年年底支付500元，連續支付15年，假設和這種證券風險相同的證券目前的利率為7%，請問此證券發行時合理價格應該是多少？ (PVIFA_7%,15=9.1079)

Ans： 將此證券每期的支付額用合理的折現率(7%)折現，就可以得到此證券合理的價格。

　　　證券價格 = 500(PVIFA_7%,15)=500(9.1079) = 4,553.95

　

4-2.  期初年金現值

期初年金現值只要將普通年金現值再多複利一期即可。

　

　　有一項投資方案為5年期，年複利率為7.5%，每年皆可收到50,000元，則該選擇年初收錢還是年底收錢其現值較高？

Ans： 年底收錢：

　　　年初收錢：期初收錢的現金流量每期都比普通年金少折現1期，所以

202,300 ╳ (1+7.5%) = 217,472.5

　

EXCEL處理：

1. 點選輸出格→插入→函數→視窗上選擇【財務】【PV】→按確定。

2. 視窗上，Rate填0.075，Nper填5，PMT填50000，Type填0

3. 視窗上，Rate填0.075，Nper填5，PMT填50000，Type填1

　

五、 永續年金現值

　　如果年金的期數為無限多期，則此種年金成為「永續年金 (Perpetuity)」。永續年金現值是年金的每期支付額除以每期利率，公式如下：

∵

　

　　假設有一個投資每年支付您 10,000元永不停止，在折現率為5%的情況下，您願意支付多少錢來購買這個投資？

Ans：

　

　　若折現率為8%，每年支付1,000的永續年金現值為多少？若折現率上升到 16%(加倍)，則永續年金的現值將有何改變？

Ans：  折現率 8%時永續年金現值 = 1,000 / 8% = 12,500
　　　折現率 16%時永續年金現值 = 1,000 / 16% = 6,250
　　　折現率加倍，永續年金現值將變為原來的一半。